Método de Monte Carlo Parte II

Principales Usos del Método Monte Carlo

Este método es usado ampliamente para la evaluación de ecuaciones complejas que serian imposibles o prácticamente imposibles de resolver de manera exacta. Pero el uso más común en la integración de monte carlo

Otra de las Aplicaciones en las cuales el método de Monte carlo fue de vital importancia fue en la resolución del problema de Bufón y el problema de Fermi, la dispersión Compton, para la solución de la ecuación de Boltzman para la descripción matemática del problema de transporte de fotones, que debido a su complejidad no serán tratados.

Integración de Monte Carlo

Para aplicar este método se tiene una función f(x) cuya dificultad para integrar es alta y se realiza un cambio de variable con dx=dy(b-a), esto se sustituye en la integral y queda una función a integrar en un intervalo (0,1)h(x)dx.

Luego de esto se generan variables aleatorias (ui) con la siguiente formula xn+1=(axn+c)%m donde el símbolo % indica que es el residuo de la división de las dos partes relacionada, xn es la semilla, c es el incremento, a es el multiplicativo y m es el modulo; donde a tiene que ser desigual a xn.

Cuando se obtengan los xn+1 se comienzan a generar los ui por la formula ui=xi/m, donde inicialmente i=1, es decir u1=x1/m, u2=x2/m, así sucesivamente. Los ui obtenidos son números aleatorios en un intervalo (0,1) que serán sustituidos en la formula ((b-a)/n)× Σ f(ui(b-a)+a) y eso nos da la aproximación de la integral definida en (a,b) de f(x).Mientras más grande sea n, más exacta es la aproximación.

Ejemplo.

Se desea calcular el área de un cuarto de circunferencia, de radio la unidad, y su error relativo respecto al valor real usando el método de monte carlo, Sabiendo que el área real es igual a: π r² ¼ = π ¼ = 0,785398163.

Para calcular el área se calcula la fracción que se establece entre la cantidad de puntos que caen dentro del área asociada a la curva y la cantidad total de puntos (o puntos en el cuadrado).

Para calcular el área de un cuarto de círculo, de radio unitario, que está dentro de un cuadrado de lado unitario.

La fracción será:

Área del ¼ círculo / Área del cuadrado = Puntos en el ¼ de círculo / Puntos en el cuadrado

Para aplicar el método de monte carlo a este problema necesitamos generar pares ordenados aleatorios, es decir valores de “x” y “y”. Para esto se usara la función =ALEATORIO() de Microsoft Excel.

Para luego con la relación pitagórica:

√ R1² + R2² ≤ 1

Establecer los puntos que están dentro de la circunferencia y los que están afuera de esta.

Para el caso de una simulación con 1000 pares de números aleatorios, es decir, para 1000 puntos generados, nos dará una fracción tal como 781/1000 = 0,781

Con estos datos obtenemos un error relativo del 0.559991505862%.

La precisión del método se mejora utilizando una gran cantidad de simulaciones

Con una muestra de 5000 pares.

Valor Aproximado

Valor Real

Error Relativo %

0,7882000000

0,7853981634

0,3567409160

Con una muestra de 10000 pares

Valor Aproximado

Valor Real

Error Relativo %

0,7840000000

0,7853981634

0,1780196928

Con esto se puede evidenciar el hecho de que si se toma una muestra mayor de pares aleatorios el error entre el valor aproximado y el valor real será menor


Referencias

Sin Autor (2008). Monte Carlo method. Recuperado el 27, Diciembre de 2008 en

http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method

Sin Autor (2008). Integración de Monte Carlo. Recuperado el 27, Diciembre de 2008 en

http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_de_Monte_Carlo

Sin Autor (2008). Monte Carlo integration. Recuperado el 27, Diciembre de 2008 en

http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_integration

Sin Autor (2008). Método de Monte Carlo. Recuperado el 27, Diciembre de 2008 en

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Monte_Carlo

Sin Autor (2008). Método de Monte Carlo. Recuperado el 27, Diciembre de 2008 en

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/carlosp/html/pid/montecarlo.html

MÉNDEZ CÓRDOVA, Jasón (sin fecha). El método de Monte Carlo. Recuperado el 27, Diciembre de 2008 en

http://www.monografias.com/trabajos12/carlo/carlo.shtml.


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